Курс математики (2021-2022 учебный год, географический факультет)

Лекции (краткое изложение пройденного материала и конспект Whiteboard zoom):

  1. Лекция № 1 (08.09.2021) Матрицы. Операции над матрицами. Определители матриц 2х2 и 3х3. Свойства определителя. Разложение определителя по строке (столбцу). Матричная форма записи системы линейных уравнений. Формулы Крамера.
  2. Лекция № 2 (15.09.2021) Повторение — матричная форма записи системы линейных уравнений, формулы Крамера. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Вычисление определителя матрицы с помощью элементарных преобразований над строками (столбцами). Конспект.
  3. Лекция № 3 (22.09.2021) Декартова прямоугольная система координат. Прямая на плоскости и ее уравнение (различные формы записи) Взаимное расположение двух прямых. Угол между двумя прямыми. Параллельность и перпендикулярность двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Конспект.
  4. Лекция № 4 (29.09.2021) Векторы на плоскости и в пространстве. Проекции и их свойства. Скалярное произведение векторов и его выражение через их координаты. Плоскость в пространстве. Вектор нормали к плоскости. Уравнение плоскости. Проекция точки на плоскость. Расстояние от точки до плоскости. Векторное произведение векторов и его выражение через их координаты. Смешанное произведение трех векторов и его свойства. Выражение смешанного произведения через координаты векторов. Конспект.
  5. Лекция № 5 (06.10.2021) Кривые второго порядка. Вывод уравнений параболы, эллипса, гиперболы. Конспект.
  6. Лекция № 6 (13.10.2021) Множества и функции. Числовая последовательность. Определение ограниченной последовательности. Бесконечно малая последовательность. Свойства бесконечно малых последовательностей. Конспект.
  7. Лекция № 7 (20.10.2021) Предел последовательности и его свойства. Конспект.
  8. Лекция № 8 (27.10.2021) Точная верхняя грань. Принцип полноты Вейерштрасса. Теорема Вейерштрасса. Число e. Конспект.
  9. Лекция № 9 (03.11.2021) Предел функции на бесконечности и в точке. Свойства предела. Первый замечательный предел. Конспект.
  10. Лекция № 10 (10.11.2021) Непрерывные функции и их свойства. Классификация точек разрыва. Свойства функций, непрерывных на отрезке (с примерами, без доказательства). Конспект.
  11. Лекция № 11 (17.11.2021) Производная функции в точке. Дифференцируемость функции в точке. Связь с непрерывностью. Производная суммы, произведения и частного. Конспект.
  12. Лекция № 12 (24.11.2921) Производная сложной функции. Производная обратной функции. Дифференциал и его свойства. Локальный экстремум. Теорема Ферма. Конспект.
  13. Лекция № 13 (01.12.2021) Теорема Ролля. Теорема Коши. Правило Лопиталя. Терема Лагранжа. Достаточное условие монотонности функции на промежутке. Первое достаточное условие экстремума. Конспект.
  14. Лекция № 14 (08.12.2021) Формула Тейлора. второе достаточное условие локального экстремума. Выпуклость функции. Достаточное условие выпуклости. Конспект
  15. Лекция № 15 (15.12.2021) Выпуклость функции и точки перегиба. Примеры. Первообразная. Конспект.
  16. Лекция № 16 (22.12.2021) Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица первообразных. Свойства дифференциала и приемы интегрирования. Интегрирование разложением. Конспект.
  17. Лекция № 17 (17.02.2022) Интегрирование заменой переменной и «по частям»
  18. Лекция № 18 (24.02.2022) Интегрирование рациональных функций, некоторых иррациональных функций и тригонометрических выражений.
  19. Лекция № 19 (03.03.2022) Определенный интеграл Римана. Определение и геометрический смысл. Достаточное условие интегрируемости (без доказательства). Необходимое условие интегрируемости. Функция Дирихле. Свойства определенного интеграла. Конспект.
  20. Лекция № 20 (10.03.2022) Приложения определенного интеграла Римана. Площади фигур, объем тела, длина кривой. Конспект.
  21. Лекция № 21 (17.03.2022) Функции многих переменных. Определение предела. Свойства предела. Конспект.
  22. Лекция № 22 (24.03.2022) Функции многих переменных. Непрерывность, дифференцируемость, частные производные. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью. Необходимое условие дифференцируемости (пример, показывающий, что это условие не является достаточным). Достаточное условие дифференцируемости (пример, показывающий, что это условие не является необходимым). Конспект.
  23. Лекция № 23 (31.03.2022) Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие. Достаточное условие. Формулировка теоремы о формуле Тейлора для (числовой) функции многих переменных.
  24. Лекция № 24 (7.04.2022) Метод наименьших квадратов и задача линейной регрессии. Теорема о производных сложной функции двух переменных. Производная по направлению.
  25. Лекция № 25 (14.04.2022) Вектор градиент функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Теоремы о неявной функции. Производные функции, заданной неявно. Годограф. Касательная к кривой в пространстве.

После лекции № 5 предполагается провести Коллоквиум № 1 — по элементам линейной алгебры и аналитической геометрии. Коллоквиум проводят преподаватели семинаров.

Программа коллоквиума № 1.

После лекции № 10 предполагается провести Коллоквиум № 2 — по теории пределов и непрерывности.

Программа коллоквиума № 2.

Во втором семестре предусмотрен Коллоквиум № 3 — по дифференциальному исчислению функции одной переменной.

Программа Коллоквиума № 3.

В конце второго семестра проходит экзамен.

Программа экзамена.

По разделу «Введение в анализ» имеется книга доцента А.К.Рыбникова

По теме «Пределы» имеется методическое пособие доцента Ю.Н.Сударева

Семинары 

  1. Семинар 11.09.2021 Матрицы. Определители. Конспект.
  2. Семинар 18.09.2021 Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера и методом Гаусса. Конспект
  3. Семинар 25.09.2021 Система координат на плоскости. Векторы. Прямая на плоскости.  Взаимное расположение прямых на плоскости. Векторы в пространстве. Скалярное произведение векторов. Конспект.
  4. Семинар 02.10.2021 Векторное произведение векторов. Уравнение плоскости. Проекция точки на плоскость. Расстояние от точки до плоскости. Смешанное произведение векторов. Конспект.
  5. Семинар 09.10.2021 Кривые второго порядка — эллипс, гипербола, парабола. Решение задач. Конспект.
  6. Семинар 16.10.2021 Последовательности. Предел последовательности. Конспект.
  7. Семинар 23.10.2021 Решение задач на пределы. Конспект.
  8. Семинар 30.10.2021 Решение задач на пределы функций. Конспект.
  9. Семинар 06.11.2021 Решение задач. Конспект.
  10. Семинар 13.11.2021 Завершение темы «Пределы». Конспект.
  11. Семинар 20.11.2021 Производные. Конспект.
  12. Семинар 27.11.2021 Производные. Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Конспект.
  13. Семинар 04.12.2021 Правило Лопиталя. Вторая производная и выпуклость функций. Схема исследования функции и построения эскиза ее графика. Конспект.
  14. Семинар 11.12.2021 Решение задач на исследование функции. Конспект.