Курс математики для студентов 1 курса географического факультета читается в 1-м и 2-м семестрах в объеме 2 часов лекций и 2 часов семинарских занятий в неделю.
Обучение в первом семестре завершается зачетом, во втором семестре — экзаменом.
В каждом семестре проводятся коллоквиумы.
Коллоквиум является промежуточной формой отчетности за теоретический курс.
Студентам необходимо успешно сдать коллоквиумы первого семестра, чтобы получить зачет за 1 семестр.
Лекции (Примерное распределение материала; конспект Whiteboard zoom для некоторых тем):
- Лекция № 1 Матрицы. Операции над матрицами. Определители матриц 2х2 и 3х3. Свойства определителя. Разложение определителя по строке (столбцу). Матричная форма записи системы линейных уравнений. Формулы Крамера.
- Лекция № 2 Повторение — матричная форма записи системы линейных уравнений, формулы Крамера. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Вычисление определителя матрицы с помощью элементарных преобразований над строками (столбцами). Конспект.
- Лекция № 3 Декартова прямоугольная система координат. Прямая на плоскости и ее уравнение (различные формы записи) Взаимное расположение двух прямых. Угол между двумя прямыми. Параллельность и перпендикулярность двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Конспект.
- Лекция № 4 Векторы на плоскости и в пространстве. Проекции и их свойства. Скалярное произведение векторов и его выражение через их координаты. Плоскость в пространстве. Вектор нормали к плоскости. Уравнение плоскости. Проекция точки на плоскость. Расстояние от точки до плоскости. Векторное произведение векторов и его выражение через их координаты. Смешанное произведение трех векторов и его свойства. Выражение смешанного произведения через координаты векторов. Конспект.
- Лекция № 5 Кривые второго порядка. Вывод уравнений параболы, эллипса, гиперболы. Конспект.
- Лекция № 6 Множества и функции. Числовая последовательность. Определение ограниченной последовательности. Бесконечно малая последовательность. Свойства бесконечно малых последовательностей. Конспект.
- Лекция № 7 Предел последовательности и его свойства. Конспект.
- Лекция № 8 Точная верхняя грань. Принцип полноты Вейерштрасса. Теорема Вейерштрасса. Число e. Конспект.
- Лекция № 9 Предел функции на бесконечности и в точке. Свойства предела. Первый замечательный предел. Конспект.
- Лекция № 10 Непрерывные функции и их свойства. Классификация точек разрыва. Свойства функций, непрерывных на отрезке (с примерами, без доказательства). Конспект.
- Лекция № 11 Производная функции в точке. Дифференцируемость функции в точке. Связь с непрерывностью. Производная суммы, произведения и частного. Конспект.
- Лекция № 12 Производная сложной функции. Производная обратной функции. Дифференциал и его свойства. Локальный экстремум. Теорема Ферма. Конспект.
- Лекция № 13 Теорема Ролля. Теорема Коши. Правило Лопиталя. Терема Лагранжа. Достаточное условие монотонности функции на промежутке. Первое достаточное условие экстремума. Конспект.
- Лекция № 14 Формула Тейлора. второе достаточное условие локального экстремума. Выпуклость функции. Достаточное условие выпуклости. Конспект
- Лекция № 15 Выпуклость функции и точки перегиба. Примеры. Первообразная. Конспект.
- Лекция № 16 Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица первообразных. Свойства дифференциала и приемы интегрирования. Интегрирование разложением. Конспект.
- Лекция № 17 Интегрирование заменой переменной и «по частям»
- Лекция № 18 Интегрирование рациональных функций, некоторых иррациональных функций и тригонометрических выражений.
- Лекция № 19 Определенный интеграл Римана. Определение и геометрический смысл. Достаточное условие интегрируемости (без доказательства). Необходимое условие интегрируемости. Функция Дирихле. Свойства определенного интеграла. Конспект.
- Лекция № 20 Приложения определенного интеграла Римана. Площади фигур, объем тела, длина кривой. Конспект.
- Лекция № 21 Функции многих переменных. Определение предела. Свойства предела. Конспект.
- Лекция № 22 Функции многих переменных. Непрерывность, дифференцируемость, частные производные. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью. Необходимое условие дифференцируемости (пример, показывающий, что это условие не является достаточным). Достаточное условие дифференцируемости (пример, показывающий, что это условие не является необходимым). Конспект.
- Лекция № 23 Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие. Достаточное условие. Формулировка теоремы о формуле Тейлора для (числовой) функции многих переменных.
- Лекция № 24 Метод наименьших квадратов и задача линейной регрессии. Теорема о производных сложной функции двух переменных. Производная по направлению.
- Лекция № 25 Вектор градиент функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Теоремы о неявной функции. Производные функции, заданной неявно. Годограф. Касательная к кривой в пространстве.
После лекции № 5 проводится Коллоквиум № 1 — по элементам линейной алгебры и аналитической геометрии. Коллоквиум проводят преподаватели семинаров.
После лекции № 10 проводится Коллоквиум № 2 — по теории пределов и непрерывности.
Во втором семестре предусмотрен Коллоквиум № 3 — по дифференциальному исчислению функции одной переменной.
В конце второго семестра проходит экзамен.
По разделу «Введение в анализ» имеется книга доцента А.К.Рыбникова
По теме «Пределы» имеется методическое пособие доцента Ю.Н.Сударева
Семинары (примеры семинарских занятий 1 семестра).
- Семинар 1. Матрицы. Определители. Конспект.
- Семинар 2. Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера и методом Гаусса. Конспект
- Семинар 3. Система координат на плоскости. Векторы. Прямая на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости. Векторы в пространстве. Скалярное произведение векторов. Конспект.
- Семинар 4. Векторное произведение векторов. Уравнение плоскости. Проекция точки на плоскость. Расстояние от точки до плоскости. Смешанное произведение векторов. Конспект.
- Семинар 5. Кривые второго порядка — эллипс, гипербола, парабола. Решение задач. Конспект.
- Семинар 6. Последовательности. Предел последовательности. Конспект.
- Семинар 7. Решение задач на пределы. Конспект.
- Семинар 8. Решение задач на пределы функций. Конспект.
- Семинар 9. Решение задач. Конспект.
- Семинар 10. Завершение темы «Пределы». Конспект.
- Семинар 11. Производные. Конспект.
- Семинар 12. Производные. Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Конспект.
- Семинар 13. Правило Лопиталя. Вторая производная и выпуклость функций. Схема исследования функции и построения эскиза ее графика. Конспект.
- Семинар 14. Решение задач на исследование функции. Конспект.
