Курс математического анализа профессора Е.А.Бадерко

Курс математического анализа профессора Е.А.Бадерко.

Конспекты лекций (рукописные и в формате ТеХ/pdf):

Лекции 1 семестра (конспект, набранный в ТеХе)
Лекции 2 семестра (конспект в формате pdf; еще один вариант конспекта)
Лекции 3 семестра (вариант, набранный в ТеХе; еще один вариант)
Лекции 4 семестра (второй вариант и третий вариант (pdf))

Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа (1-ый курс, 1-ый семестр).

Равномощные множества. Счетные и несчетные множества. Подмножества счетных множеств. Объединение счетных множеств. Счетность множества рациональных чисел. Пример несчетного множества (Канторов диагональный процесс).
Аксиома полноты во множестве вещественных числах. Верхняя и нижняя грани множества. Существование точной верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества.
Лемма о вложенных отрезках. Несчетность множества вещественных чисел.
Лемма Бореля-Лебега о конечном покрытии отрезка. Лемма Больцано-Вейерштрасса о предельной точке.
Предел последовательности. Предельный переход и неравенства. Предельный переход и арифметические операции.
Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число “е”.
Критерий Коши сходимости последовательности.
Предел функции в точке. Эквивалентность определений предела функции по Коши и по Гейне.
Функции, бесконечно малые и бесконечно большие в точке. Предел функции при ( ). Предел бесконечно малой функции на локально ограниченную. Локальная ограниченность функции, имеющей предел. Сравнение асимптотического поведения функций.
Предельный переход и арифметические операции. Предельный переход и неравенства.
Предел композиции функции. Теорема о пределе монотонной функции на [a, +\infty ) (на (-\ifty, a]) при x\to +\inft (-\infty).
Предел функции по базе. Критерий Коши существования предела функции по базе.
Непрерывность функции в точке. Локальные свойства функции, непрерывной в точке (локальная ограниченность, сохранение знака, арифметические операции, композиция непрерывных функций).
Классификация точек разрыва. Разрывы монотонной функции.
Теорема о промежуточных значениях функции, непрерывной на отрезке.
Теоремы Вейерштрасса об ограниченности и о достижении экстремальных значений функциями, непрерывными на отрезке.
Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке.
Теорема об обратной функции.
Производная функции в точке. Дифференцируемость функции в точке. Связь между этими понятиями.
Арифметические операции и производная.
Производная композиции. Производная обратной функции.
Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
Теоремы Ферма и Ролля.
Теоремы Коши и Лагранжа о конечных приращениях.
Правило Лопиталя раскрытия неопределенности «0/0». Формулировка правила раскрытия неопределенности «∞/∞».
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Основные асимптотические разложения.
Критерий монотонности функции на интервале. Достаточное условие строгой монотонности. Первое и второе достаточные условия существования строгого экстремума.
Выпуклость функции. Критерии выпуклости и строгой выпуклости. Точки перегиба. Необходимое условие существования точки перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба.

Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа (1-ый курс, 2-ой семестр).

Первообразная функция на интервале. Неопределенный интеграл и его свойства (линейность, интегрирование по частям, замена переменной).
Интегрируемость функции на отрезке. Критерий Коши. Необходимое условие интегрируемости.
Достаточный признак интегрируемости, связанный с колебанием функции. Классы интегрируемых функций.
Множества лебеговой меры нуль. Критерий интегрируемости по Лебегу (формулировка). Интеграл от функции, интегрируемой на отрезке и равной нулю почти всюду.
Критерий Дарбу и специальный критерий интегрируемости ограниченной функции.
Свойства определенного интеграла (линейность, аддитивность, интегрируемость произведения).
Интегрирование и неравенства. Первая теорема о среднем. Формулировка второй теоремы о среднем.
Непрерывность и дифференцируемость интеграла по верхнему (нижнему) пределу.
Существование первообразной у непрерывной на интервале функции. Первообразная для функции, непрерывной на отрезке.
Формула Ньютона – Лейбница для интегрируемой на отрезке функции. Замена переменной в определенном интеграле.
Интегрирование по частям. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимость.
Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Признак Дирихле.
Несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл в смысле главного значения.
Линейные, нормированные, евклидовы и метрические пространства. Неравенства Коши-Буняковского и Минковского.
Последовательности в метрическом пространстве. Полные метрические пространства. Сходимость в R^n. Полнота R^n.
Предел отображения из метрического пространства в метрическое пространство. Функции двух переменных: двойные и повторные пределы.
Достаточное условие существования повторного предела.
Непрерывные отображения в метрических пространствах. Непрерывность композиции. Критерий непрерывности на всем пространстве.
Компакты в метрическом пространстве и их свойства (существование предельной точки, ограниченность и замкнутость, компактность замкнутого подмножества).
Компактность в R^n (вложенная система n–мерных клеток, компактность n–мерной клетки, критерий компактности в R^n).
Свойства непрерывных отображений на компакте (сохранение компактности, ограниченность, достижение максимальных и минимальных значений, равномерная непрерывность). Непрерывные функции на линейном связном множестве в R^n.
Производные и дифференциалы первого порядка. Непрерывность дифференцируемой функции. Необходимое условие дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости. Дифференцируемость вектор-функции.
Дифференцируемость сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Производная по направлению. Градиент.
Производные высших порядков. Теорема Шварца о равенстве смешанных производных. Формулировка теоремы Юнга.
Дифференциалы высших порядков. Теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Теорема Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Локальный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие существования локального экстремума. Достаточное условие существования строгого локального экстремума.
Теорема о существовании и единственности неявной функции (случай одного уравнения). Теорема о неявных функциях для систем уравнений (формулировка).

Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа (2-й курс, 3-й семестр).

Числовые ряды и их основные свойства (необходимый признак сходимости, остаток ряда, критерий Коши). Знакоположительные ряды (критерий сходимости, признаки сравнения, предельный признак сравнения).
Знакоположительные ряды (признак Даламбера, формулировка признака Гаусса, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши).
Знакопеременные ряды (абсолютная и условная сходимость, перестановка членов абсолютно сходящегося ряда). Теорема Абеля об умножении двух абсолютно сходящихся рядов.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда.
Признаки сходимости Дирихле и Абеля.
Функциональные последовательности (поточечная и равномерная сходимости, критерий Коши и специальный критерий равномерной сходимости, признак Дини).
Свойства равномерно сходящихся последовательностей (предельный переход, непрерывность предельной функции). Полнота С[a,b].
Интегрование и дифференцирование функциональных последовательностей.
Функциональные ряды (поточечная и равномерная сходимости, критерий Коши равномерной сходимости, предельный переход, почленное интегрирование и дифференцирование). Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.
Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости ряда.
Степенные ряды (первая теорема Абеля, радиус и интервал сходимости).
Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Вторая теорема Абеля. Сумма и произведение степенных рядов.
Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
Единственность разложения функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Разложения в ряд Тейлора: ехр х; cos x; sin x.
Разложения в ряд Тейлора: (1 + х)^α; ln(1 + x).
Непрерывность интеграла, зависящего от трех параметров (в т.ч., от нижнего и верхнего пределов).
Семейства функций, зависящих от параметра: равномерная сходимость, критерии Коши и Гейне равномерной сходимости. Предельный переход под знаком интеграла.
Дифференцируемость интеграла, зависящего от трех параметров (в т.ч., от нижнего и верхнего пределов). Формула Лейбница.
Интегрируемость интеграла, зависящего от параметра.
Равномерная сходимость несобственных интегралов: а) с бесконечным промежутком интегрирования; б) от неограниченных функций. Критерии Коши и Гейне. Критерий равномерной сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции.
Признаки Вейерштрасса, Дирихле и Абеля равномерной сходимости несобственных интегралов.
Предельный переход в несобственном интеграле. Непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра.
Дифференцируемость несобственного интеграла, зависящего от параметра. Интеграл Дирихле.
Интегрируемость несобственного интеграла, зависящего от параметра. Теорема об изменении порядка интегрирования в повторных несобственных интегралах.
Интеграл Пуассона. Интегралы Эйлера. Формулировка теорема Вейерштрасса о приближении непрерывной функции многочленами.
Ортогональные системы функций. Ортогональность и линейная независимость. Ряд Фурье кусочно-непрерывной функции по ортогональной системе. Теорема о единственности разложения в ряд по ортогональной системе. Неравенство Бесселя.
Тригонометрический ряд Фурье. Теорема о достаточных условиях сходимости ряда Фурье в точке

Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа (2 курс, 4 семестр).

Интеграл Римана на брусе. Необходимое условие интегрируемости. Суммы Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу.
Предельный критерий интегрируемости на брусе. Критерий Дарбу.
Множества меры нуль. Теорема об инвариантности меры нуль при С¹ – отображении (формулировка). База окрестностей в ℝⁿ. Теорема о выделении счетного подпокрытия из открытого покрытия множества в ℝⁿ. Достаточное условие для множества быть множеством меры нуль.
Мера графика непрерывной функции. Теорема Сарда для m < n. Формулировка теорем Сарда для m = n и для m > n.
Множества объема нуль. Колебания функции в точке. Критерий Бэра непрерывности функции в точке. Теорема Кантора.
Критерий Лебега интегрируемости на брусе.
Измеримые по Жордану множества. Критерий измеримости по Жордану. Критерий для измеримого множества быть множеством объема нуль.
Пересечение и объединение конечного числа измеримых множеств. Теорема о локальном диффеоморфизме (формулировка). Теорема о сохранении измеримости при С¹— отображении.
Интеграл Римана на ограниченном множестве в ℝⁿ. Корректность определения. Критерий Лебега интегрируемости на измеримом множестве.
Теорема о равенстве интегралов для интегрируемых функций, равных нулю почти всюду. Линейность интеграла. Произведение интегрируемых функций. Интегрируемость на измеримом подмножестве. Аддитивность интеграла.
Модуль интегрируемой функции. Интеграл от неотрицательной функции. Интеграл по брусу от положительной функции. Теорема о неотрицательной функции, интеграл которой равен нулю.
Теоремы Фубини для бруса и для цилиндроида.
Замена переменных в случае простейшего диффеоморфизма. Замена переменных в случае финитной функции. Теорема о замене переменной в общем случае.
Несобственные кратные интегралы.
Криволинейный интеграл I рода на плоскости и пространстве. Сведение криволинейного интеграла I рода к определенному интегралу.
Криволинейный интеграл II рода. Вычисление криволинейного интеграла II рода.
Теорема о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Теорема об аппроксимации криволинейного интеграла (формулировка). Формула Грина. Критерий полного дифференциала.
Задание поверхности в пространстве. Край и внутренние точки поверхности. Гладкая поверхность. Регулярные точки поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Ориентация поверхности. Преобразование параметров гладкой поверхности. Площадь поверхности. Поверхностный интеграл I рода.
Поверхностный интеграл II рода. Формула Стокса. Формула Гаусса-Остроградского.

Вопросы к коллоквиумам:

1 семестр

1. Множества. Операции над ними. Декартово произведение.
2. Отображения. функции. Классификация отображений. График отображения. суперпозиция отображений. Обратное отображение.
3. Равномощные множества. Счетные и несчетные множества. Подмножества счетных множеств. Объединение счетных множеств. Счетность множества рациональных чисел. Пример насчетного множества (Канторов диагональный процесс).
4. Натуральные числа и принцип математической индукции. Неравенство Бернулли. Бином Ньютона.
5. Аксиомы полноты во множестве вещественных чисел. Верхняя и нижняя грани множеств. Существование точной верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества.
6. Лемма о вложенных отрезках. Несчетность множества вещественных чисел.
7. Лемма Бореля-Лебега о конечном покрытии отрезка. Лемма Больцано-Вейерштрасса о предельной точке.
8. Внутренние, внешние, граничные точки множества, точки прикосновения и изолированные точки. Теорема о замыкании множества и о дополнении к нему.
9. Открытые и замкнутые множества. Критерий замкнутости множества. Теоремы об объединении (пересечении) открытых и замкнутых множеств.
10. Предел последовательности. Его единственность. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность. Ограниченность последовательности, имеющей предел.
11. Предельный переход и неравенства. Предельный переход и арифметические операции.
12. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число «е».
13. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании частичного предела у ограниченной последовательности. Верхний и нижний пределы последовательности.
14. Критерий Коши сходимости последовательности.

2 й коллоквиум 1 семестр (опциональный)

1. Предел функции в точке. Эквивалентные определения. Единственность предела. Первый замечательный предел.
2. Эквивалентность определений предела функции по Коши и по Гейне. Функции, бесконечно малые и бесконечно большие в точке. Предел функции при x->+infty (-infty). Предел произведения бесконечно малой функции на локально ограниченную. Локальная ограниченность функции, имеющей предел.
3. Предельный переход и арифметические операции. Предельный переход и неравенства.
4. Критерий Коши существования предела функции в точке.
5. Предел композиции функций. Теорема о пределе на [a, +infty) ((-infty, a]) при x->+infty (-infty).
6. Сравнение асимптотического произведения функций. Эквивалентности при x->0: ln(1+x)~x, e^x-1~x, (1+x)^a-1~ax.
7. Предел функции по базе. Критерий Коши существования предела функции по базе.
8. Непрерывность функции в точке. Случай изолированных и предельных точек множества. Непрерывность на множестве. Непрерывность функции sin(x).
9. Локальные свойства функции, непрерывной в точке (локальная ограниченность, сохранение знака, арифметические операции, композиция непрерывных функций). Непрерывность показательной функции.
10. Классификация точек разрыва. Разрывы монотонной функции.
11. Теорема о промежуточных значениях функции, непрерывной на отрезке.
12. Теоремы Вейерштрасса об ограниченности и о достижении экстремальных значений функциями, непрерывными на отрезке.
13. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке.
14. Теорема об обратной функции. Примеры.

2 семестр

Первообразная функция на интервале. Неопределенный интеграл и его свойства (линейность, интегрирование по частям, замена переменной).
Интегрируемость функции на отрезке. Критерий Коши. Необходимое условие интегрируемости.
Достаточный признак интегрируемости, связанный с колебанием функции. Классы интегрируемых функций.
Множества лебеговой меры нуль. Критерий интегрируемости по Лебегу (формулировка). Интеграл от функции, интегрируемой на отрезке и равной нулю почти всюду.
Критерий Дарбу и специальный критерий интегрируемости ограниченной функции.
Свойства определенного интеграла (линейность, аддитивность, интегрируемость произведения).
Интегрирование и неравенства. Первая теорема о среднем. Формулировка второй теоремы о среднем.
Непрерывность и дифференцируемость интеграла по верхнему (нижнему) пределу.
Существование первообразной у непрерывной на интервале функции. Первообразная для функции, непрерывной на отрезке.
Формула Ньютона – Лейбница для интегрируемой на отрезке функции. Замена переменной в определенном интеграле.
Интегрирование по частям. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимость.
Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Признак Дирихле.
Несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл в смысле главного значения.

3 семестр

1. Числовые ряды и их основные свойства (необходимый признак сходимости, остаток ряда, критерий Коши). Знакоположительные ряды (критерий сходимости, признаки сравнения, предельный признак сравнения).
2. Знакоположительные ряды (признак Даламбера, формулировка признака Гаусса, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши).
3. Знакопеременные ряды (абсолютная и условная сходимость, перестановка членов абсолютно сходящегося ряда). Теорема Абеля об умножении двух абсолютно сходящихся рядов.
4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда.
5. Признаки сходимости Дирихле и Абеля.
6. Функциональные последовательности (поточечная и равномерная сходимости, критерий Коши и специальный критерий равномерной сходимости, признак Дини).
7. Свойства равномерно сходящихся последовательностей (предельный переход, непрерывность предельной функции). Полнота С[a,b].
8. Интегрование и дифференцирование функциональных последовательностей.
9. Функциональные ряды (поточечная и равномерная сходимости, критерий Коши равномерной сходимости, предельный переход, почленное интегрирование и дифференцирование). Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.
10. Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости ряда.
11. Степенные ряды (первая теорема Абеля, радиус и интервал сходимости).
12. Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Вторая теорема Абеля. Сумма и произведение степенных рядов.
13. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
14. Единственность разложения функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Разложения в ряд Тейлора: ехр х; cos x; sin x.
15. Разложения в ряд Тейлора: (1 + х)α; ln(1 + x).

4 семестр

1. Интеграл Римана на брусе. Необходимое условие интегрируемости. Суммы Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу.
2. Предельный критерий интегрируемости на брусе. Критерий Дарбу.
3. Множества меры нуль. Теорема об инвариантности меры нуль при С1 – отображении (формулировка). База окрестностей в ℝn. Теорема о выделении счетного подпокрытия из открытого покрытия множества в ℝn. Достаточное условие для множества быть множеством меры нуль.
4. Мера графика непрерывной функции. Теорема Сарда для m < n. Формулировка теорем Сарда для m = n и для m > n.
5. Множества объема нуль. Колебания функции в точке. Критерий Бэра непрерывности функции в точке. Теорема Кантора.
6. Критерий Лебега интегрируемости на брусе.
7. Измеримые по Жордану множества. Критерий измеримости по Жордану. Критерий для измеримого множества быть множеством объема нуль.
8. Пересечение и объединение конечного числа измеримых множеств. Теорема о локальном диффеоморфизме (формулировка). Теорема о сохранении измеримости при С1- отображении.
9. Интеграл Римана на ограниченном множестве в ℝn. Корректность определения. Критерий Лебега интегрируемости на измеримом множестве.
10. Теорема о равенстве интегралов для интегрируемых функций, равных нулю почти всюду. Линейность интеграла. Произведение интегрируемых функций. Интегрируемость на измеримом подмножестве. Аддитивность интеграла.