План-конспект лекций

Курс лекций по предмету «Высшая математика» (2015-2016 учебный год).

План-конспект лекции № 1. (8.9.15)

Элементы линейной алгебры. Системы линейных уравнений. Матрица коэффициентов. Определение матрицы. Операции над матрицами – сравнение, умножение матрицы на число, сложение матриц одинакового размера, нулевая матрица; свойства этих операций. Умножение матриц согласованных размеров. Система линейных уравнений в матричной записи.

=============================================

План-конспект лекции № 2.

Определитель квадратной матрицы и его свойства. Формула обратной матрицы. Формулы Крамера.

=============================================

План-конспект лекции № 3.

Метод Гаусса. Ранг матрицы. Теорема Кронеккера-Капелли.

=============================================

План-конспект лекции № 4.

Элементы аналитической геометрии.  Прямоугольная декартова система координат. Координаты точки. Полярные координаты. Связь между декартовыми и полярными координатами. Векторы на плоскости. Условие параллельности векторов. Прямая на плоскости – параметрическое уравнение, общее уравнение, уравнение в отрезках, каноническое уравнение. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Все случаи взаимного расположения двух прямых на плоскости. Угловой коэффициент прямой и его геометрический смысл. Параллельность и перпендикулярность прямых, заданных уравнениями y=kx+b и ax+by=c .

Алгебраические кривые на плоскости. Порядок кривой. Кривые второго порядка – эллипс, гипербола, парабола. Вывод уравнений указанных кривых из их геометрических свойств (определений). Некоторые свойства этих кривых: фокальное свойство эллипса, асимптоты гиперболы, фокальное свойство параболы; параболические зеркала/антенны.

=============================================

План-конспект лекции № 5 (дополнительная № 1). (3.10.15).

Проекция вектора на вектор. Свойства этих проекций (однородность и линейность). Скалярное произведение векторов —  определение (через проекции) и свойства. Выражение скалярного произведения через координаты векторов (теорема). Угол между векторами. Перпендикулярность векторов.

Прямая в пространстве. Направляющий вектор прямой. Параметрическое уравнение прямой. «Уравнение» прямой, проходящей через две точки. Угол между двумя прямыми.

Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости. Задание прямой с помощью системы двух уравнений плоскости. Угол между плоскостями. Пересечение прямой и плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

Векторное произведение векторов. Определение. Свойства. Выражение через координаты (символический определитель). Нормальный вектор плоскости как векторное произведение двух неколлинеарных векторов плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.

Смешанное произведение векторов. Определение и свойства. Выражение через определитель. Геометрический смысл (ориентированный объем). Условие компланарности трех векторов (условие принадлежности четырех точек одной плоскости).

=============================================

План-конспект лекции № 6.

Элементы математического анализа. Обозначения. Множества, подмножества и элементы. Объединение и пересечение множеств. Взаимно-однозначное соответствие и равномощность (эквивалентность) множеств. Подмножества множества действительных чисел. Натуральные, целые, рациональные числа. Счетные множества. Иррациональные числа. Несчетность действительных чисел (без доказательства). Числовые функции. Последовательности. Определение бесконечно малой последовательности – словесная запись и запись через кванторы. Определение бесконечно большой последовательности.

=============================================

План-конспект лекции № 7. (дополнительная №2) (10.10.2015).

«Хвосты». Доказательство формулы для обратной матрицы. Доказательство формул Крамера. Доказательство формулы для скалярного произведения в координатах. Доказательство формулы для векторного произведения в координатах («символический определитель»). (Задание на дом – доказать аддитивность векторного произведения при помощи свойств проекций).

Примеры записи уравнения плоской кривой в полярной системе координат: спираль, кардиоида, лемниската.

Матрица квадратичной части кривой второго порядка. Собственные числа матрицы. Связь типа кривой второго порядка и собственных чисел.

Поверхности второго порядка в пространстве (примеры).

=============================================

План-конспект лекции № 8.  (13.10.2015)

Ограниченная последовательность. Монотонная последовательность. Свойства бесконечно малых последовательностей (сумма б.м.п. и произведение б.м.п. на ограниченную последовательность). Определение предела последовательности. Единственность предела последовательности. Сохранение знака неравенств при предельном переходе. Ограниченность последовательности, имеющей предел. Арифметика предела.

==============================================

Консультация 17.10.2015

Разбор задач по темам «Матрицы и системы линейных уравнений», «Элементы аналитической геометрии», «Предел последовательности».

==============================================

План-конспект лекции № 9. (20.10.2015)

Точная верхняя граница (грань) ограниченного сверху множества. Аксиома Вейерштрасса полноты множества действительных чисел. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонно возрастающей и ограниченной сверху последовательности. Число е.  (Упражнения: сформулировать определение точной нижней границы, сформулировать утверждение о существовании т.н.г. для вского ограниченного снизу непустого множества; выучить обозначения; уметь записывать утверждения с помощью кванторов).  Примеры решения задач на пределы.

=============================================

План-конспект лекции № 10. (дополнительная №3) (24.10.2015).

Теорема о зажатой последовательности (функции) («Лемма о двух миллиционерах»). Предел cos(x) при x->0. Первый замечательный предел. Производная функции как предел особого вида. Напоминание — производная y=sin(x). Второй замечательный предел и следствия из него. Напоминание — производная y=e^x. Производная y=ln(x). Решение задач из учебника А.К.Рыбникова (стр. 87-88).

=============================================

План-конспект лекции № 11. (27.10.2015)

Теорема о пределе зажатой последовательности (функции). Второй замечательный предел. Предел функции (по Коши) в точке и на бесконечности. Предел функции по Гейне и эквивалентность двух определенй пределов (без док-ва). Бесконечно малые функции и бесконечно большие функции, связь между ними. Арифметика предела функции. (Какие из уже доказанных свойств предела последовательности остаются верными для нового понятия — предела функции).

=============================================

Консультация 31.10.2015.

Теорема о свойствах бесконечно малых последовательностей (повторно), теорема Вейерштрасса (повторно). Решение задач. Рассказ про коллоквиум № 1 — объяснение процедуры.

=============================================

План-конспект лекции № 12. (03.11.2015)

Односторонние пределы функции в точке. Критерий существования предела функции в точке (существлвание и равенство односторонних пределов). Определение непрерывности функции в точке. Следствие из теоремы об арифметических свойствах предела — теорема о непрерывности суммы, произведения и частного двух функций. Теорема о непрерывности композиции двух непрерывных функций (без доказательства). Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва. Классификация точек разрыва. Примеры. Функции, непрерывные на отрезке. Свойства таких функций (быть ограниченными, принимать наибольшее и наименьшее значения, принимать все промежуточные значения).

==============================================

План-конспект лекции № 13. (дополнительная №4) (7.11.2015).

Теорема о свойствах бесконечно-малых функций с доказательством.  Сравнение бесконечно-малых функций по порядку. О-символика. Эквивалентные бесконечно малые. Применение эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов.  Почему нельзя заменять слагаемые на эквивалентные бесконечно малые.

==============================================

План-конспект лекции № 14. (11.11.2015)

Свойства функций, непрерывных на отрезке (повторно) с примерами и контрпримерами и поясняющими графиками. (Свойства № 1 и 2 перестают быть верными при замене отрезка интервалом).  Приращение аргумента. Приращение функции. Второе определение непрерывности — через приращение. Определение производной функции в точке. Производные элементарных функций с доказательством. Физический смысл производной. Геометрический смысл производной. Касательная в школьном определении и касательная как предельное положение секущей.

==============================================

План-конспект лекции № 15. (25.11.2015)

Определение дифференцируемости функции одной переменной в точке. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Эквивалентность для функции одной переменной понятий «быть дифференцируемой в точке x_0» и «иметь производную в точке x_0». («Забегание вперед»: дифференцируемость функции двух переменных.) Непрерывность дифференцируемой в точке х_0 функции. (Обратное утверждение неверно — пример у=|x|). Правила вычисления производной от суммы, произведения и частного дифференцируемых функций (с доказательством). Производная сложной функции.

==============================================

План-конспект лекции № 16. (01.12.2015)

Производная сложной функции. Примеры решения задач. Первый дифференциал и свойсто инвариантности его формы. Обратная функция. (Пары взаимно-обратных функций). Производная обратной функции. Примеры (arctg(x), arcsin(x)). Локальный экстремум. Теорема Ферма. Пример функции у=х^3, показывающий, что данное условие не является ддостаточным условием экстремума. Теорема Ролля. Теорема Коши.

==============================================

План-конспект лекции № 17. (08.12.2015)

Теорема Лагранжа. Достаточное условие строгой монотонности функции на интервале. Первое достаточное условие локального экстремума функции в точке. Первое правило Лопиталя. Формулировки остальных вариантов правила Лопиталя. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, примеры.

==============================================

План-конспект лекции № 18 (дополнительная № 5). (12.12.2015)

Формула Тейлора. Следствия из нее. Второе достаточное условие экстремума. Выпуклое множество. Выпуклая функция. Достаточное условие выпуклости функции на промежутке. Точка перегиба. Достаточное условие точки перегиба. Необходимое условие точки перегиба. План исследования функции и построения эскиза ее графика.

==============================================

План-конспект лекции № 19. (15.12.2015)

Доказательсвто формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Разложение по формуле Маклорена основных элементарных функций.  Использование формулы Тейлора при вычислении пределов. Второе достаточное условие экстремума функции в точке (повторно) с доказательством. Определение выпуклой на интервале функции при помощи касательной. Достаточное условие выпуклости функции вверх (вниз) на инервале (доказательство при помощи формулы Тейлора). Точка перегиба. Достаточное условие точки перегиба. Необходимое условие точки перегиба. План исследования функции и построения эскиза ее графика — повторно.

==============================================

План-конспект лекции № 20. (22.12.2015)

Использование формулы Маклорена при вычислении пределов с примерами. Сравнение с правилом Лопиталя на примерах. Повторно — недопустимость в общем случае замены слагаемых на эквивалентные бесконечно малые. Построение эскизов графиков функций — решение задач.

Подведение итогов 1 семестра.

==============================================

Второй (весенний) семестр.

План-конспект лекции № 1. (21)  (10.02.2016)

Повторение некоторых фактов из программы первого семестра. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Свойства дифференциала. Дифференциал суммы, произведения и частного двух функций. Дифференциал сложной функции. Свойство инвариантности формы первого дифференциала. Первообразная. Неопределенный интеграл. Теорема о том, что любые две первообразные одной функции отличаются только на константу. Таблица первообразных. Свойства неопределенногоинтеграла. Приемы нахождения неопределенного интеграла. Первый прием — разложение определенного интеграла на сумму табличных при помощи простейших алгебраических преобразований.
==============================================

План-конспект лекции № 2. (22)  (17.02.2016)

Интегрирование занесением под знак дифференциала. Замена переменной в неопределенном интеграле. Примеры. Интегрирование «по частям». Примеры.

Определенный интеграл Римана функции f(x) на отрезке [a, b]. Определения разбиения, диаметра разбиения, размеченного разбиения, интегральной суммы, определенного интеграла функции на отрезке. Геометрический смыслопределенного интеграла. Пример неинтегрируемой по Риману функции — функции Дирихле.

(Примечание. Разбор дополнительных примеров на неопределенное интегрирование разных типов функций будет продолжен на дополнительной лекции-консультации).

 

==============================================

План-конспект лекции № 3. (23)  (24.02.2016)

Ограниченность функции, интегрируемой по Риману на отрезке. (необходимое условие интегрируемости, без доказательства). Функция Дирихле показывает, что это условие не является достаточным. Некоторые достаточные условия интегрируемости функции на отрезке. (Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману на нем, монотонная функция интегрируема; критерий Лебега — общее представление о связи интегрируемости и наличии точек разрыва).

Линейность определенного интеграла.

Замена переменной в определенном интеграле (б/д., с примерами).

Интегрирование по частям определенного интеграла.

Аддитивность по отрезку определенного интеграла функции. (Свойства, связанные с отрезками интегрирования).

==============================================

План-конспект лекции № 4. (24)  (02.03.2016)

Неравенства и определенный интеграл (определенное интегрирование неравенств).

Теорема о среднем (для интегрируемой фунции).

Теорема о среднем для непрерывной на отрезке функции.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом.

Теорема о производной определенного интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции.

Формула Ньютона — Лейбница.

(Замечание о замене переменной и интегрировании «по частям» для определенного интеграла — см. предыдущую лекцию). Примеры использования формулы Ньютона — Лейбница.

Площадь, заключенная между двумя графиками функций. Площадь эллипса.

 

==============================================

План-конспект лекции № 5. (25)  (09.03.2016)

Приложения определенного интеграла.

Площадь фигуры, граница которой задана в полярных координатах. Площадь кардиоиды.

Объем тела «по сечениям» (объем как интеграл от функции площади сечения тела плоскостью из семейства параллелельных плоскостей, перепндикулярных выбранной оси координат — оси Ох).  Вывод формулы объема конической поверхности.

Объем тела вращения. Вывод формулы объема шара.

Длина дуги кривой, заданной формулой y=f(x). Пример y=2/3x^(3/2) на [3, 8]. Длина дуги кривой, заданной параметрически формулами x=x(t), y=y(t). Длина окружности.

Несобственные интегралы — от неограниченной функции и по бесконечному промежутку.
Определения и примеры.

Примечание. Длина дуги кривой, заданной параметрически, будет рассмотрена на следующей основной лекции.

 

==============================================

План-конспект лекции № 6. (26) (дополнительная № 1)  (10.03.2016)

Интегрирование рациональных функций.

 

==============================================

План-конспект лекции № 7. (27)  (11.03.2016)

Итоговый обзор пройденного материала по теме интегральное исчисление.

 

==============================================

План-конспект лекции № 8. (28) (дополнительная № 2)  (17.03.2016)

Интегрирование тригономтрических выражений.

 

==============================================

План-конспект лекции № 9. (29)  (23.03.2016)

Вычисление длины дуги кривой, заданной в полярных координатах. Вывод формулы.
Функции многих перемнных. Определение и примеры. Задачи курса в части теории функций многих переменных.
Определение понятия предела числовой функции двух (многих) переменных в точке; изучение свойств понятия предела. Пример функции, не имеющей предела в точке (0,0) (f(x,y)=xy/(x^2+y^2), f(0,0)=0). Какие из ранее изученных свойств предела функции одной переменной остаются верными для предела функции двух и более переменных. Изучение непрерывности функции нескольких переменных в точке и на множетве (в т.ч. на замкнутых прямоугольниках — аналогах отрезков). Локальные и глобальные свойства непрерывных функций — какие свойства непрерывных функций одной переменной допускают обобщения на случай функций нескольких переменных (см. далее).
Замкнутые множества на числовой плоскости, ограниченные множества на числовой плоскости, связные множества — общее представление. Как формулируются для функций двух (нескольких) переменных аналоги свойств функций одной переменной, непрерывных на отрезке.
Приращение функции двух переменных. Частные производные функции двух (нескольких) переменных. Примеры.
Определение дифференцируемости функции двух переменных в точке. Сравнение со случаем функции одной переменной.
Дифференциал функции двух переменных.

 

==============================================

План-конспект лекции № 10 (30)  (30.03.2016)

Повторение. Непрерывность функции двух (многих) переменных. Пример разрывной функции (у=sin(1/(x^2+y^2)).  Теорема о непрерывности (в точке) функции, дифференцируемой в точке. Пример, показывающий, что это утверждение «в обратную сторону неверно» z=|x|+|y|. Пример, показывающий, что существования частных производных не достаточно для диференцируемости функции двух переменных (3251 МД).   Достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных — существование и непрерывность ее частных производных (в заданной точке). Пример дифференцируемой в точке функции, частные производные которой разрывны в этой точке. (3253 МД).
Локальные экстремум функции двух переменных (определение). Необходимое условие экстремума (равенство нулю частных производных дифференцируемой в точке экстремума функции) Расширенная формулировка теоремы (примеры z=x^2+y^2 и z=|x|+|y|). Пример, показывающий, что необходимое условие не является достаточным (z=x^2-y^2).
Вторые частные производные функции двух (многих) переменных — повторные и смешанные. Примеры вычисления. Формулировка теоремы о равенстве смешанных производных.

==============================================

План-конспект лекции № 11 (31)  (06.4.2016)

Повторение. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума (без доказательства). Примеры исследования функций двух переменных на экстремум.
Производные сложной функции двух переменных. Инвариантность первого дифференциала. Неинвариантность второго дифференциала.
Касательная плоскость к поверхности, заданной уравнением z=f(x,y).  Нормаль к поверхности.
Функции, заданные неявно уравнением F(x,y)=0. Условия существования и способ вычисления производной.

==============================================

План-конспект лекции № 12 (32)  (06.4.2016)

Теорема о неявной функции, задаваемой уравнением F(x,y)=0 (в случае непрерывно-дифференцируемой F(x,y), без доказательства). Теорема о неявной функции, задаваемой уравнением F(x,y,z)=0. Вычисление частных производных z’_x и z’_y.
Производная функции по направлению. Градиент функции. Утверждение о наибольшем изменении функции по направлению ее градиента. Градиент перпендикулярен линиям уровня функции: F(x,y,…)=const. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, задаваемой уравнением F(x,y,z)=0.
Пространственная кривая (годограф). Уравнение касательной прямой к годографу в точке.

==============================================

План-конспект лекции-консультации № 13 (33) (дополнительная № 3)  (14.4.2016)

Решение задач на пройденные темы.

==============================================

План-конспект лекции № 14 (34)  (20.4.2016)

Дифференциальные уравнения. Примеры. Второй закон Ньютонаю Закон Гука. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения — решение методом вариации постоянной. Уравнения Бернулли. Решение задач.

==============================================

План-конспект лекции-консультации № 15 (35) (дополнительная № 4)  (21.4.2016)

Консультация к досрочному экзамену. Пример к вопросу № 9: f(x,x)=0 при xy=0 и f(x,y)=1 при xy не равном нулю.
==============================================