Курс математического анализа профессора Е.А.Бадерко.
- Вопросы первого коллоквиума (1 семестр).
- Вопросы второго коллоквиума (1 семестр).
- Экзаменационные вопросы 1 семестр 1 курс.
- Вопросы третьего коллоквиума (2 семестр).
- Экзаменационные вопросы 2 семестр 1 курс.
- Вопросы коллоквиума № 4 (3 семестр).
- Вопросы экзамена 3 семестр 2 курс.
====================================
Вопросы коллоквиума № 1.
1. Множества. Операции над ними. Декартово произведение.
2. Отображения. функции. Классификация отображений. График отображения. суперпозиция отображений. Обратное отображение.
3. Равномощные множества. Счетные и несчетные множества. Подмножества счетных множеств. Объединение счетных множеств. Счетность множества рациональных чисел. Пример насчетного множества (Канторов диагональный процесс).
4. Натуральные числа и принцип математической индукции. Неравенство Бернулли. Бином Ньютона.
5. Аксиомы полноты во множестве вещественных чисел. Верхняя и нижняя грани множеств. Существование точной верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества.
6. Лемма о вложенных отрезках. Несчетность множества вещественных чисел.
7. Лемма Бореля-Лебега о конечном покрытии отрезка. Лемма Больцано-Вейерштрасса о предельной точке.
8. Внутренние, внешние, граничные точки множества, точки прикосновения и изолированные точки. Теорема о замыкании множества и о дополнении к нему.
9. Открытые и замкнутые множества. Критерий замкнутости множества. Теоремы об объединении (пересечении) открытых и замкнутых множеств.
10. Предел последовательности. Его единственность. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность. Ограниченность последовательности, имеющей предел.
11. Предельный переход и неравенства. Предельный переход и арифметические операции.
12. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число «е».
13. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании частичного предела у ограниченной последовательности. Верхний и нижний пределы последовательности.
14. Критерий Коши сходимости последовательности.
====================================
Вопросы коллоквиума № 2.
1. Предел функции в точке. Эквивалентные определения. Единственность предела. Первый замечательный предел (lim(sin(x)/x)=1 x->0).
2. Эквивалентность определений предела функции по Коши и по Гейне.
Функции, бесконечно малые и бесконечно большие в точке. Предел функции при x->+infty (-infty). Предел произведения бесконечно малой функции на локально ограниченную. Локальная ограниченность функции, имеющей предел.
4. Предельный переход и арифметические операции. Предельный переход и неравенства.
5. Критерий Коши существования предела функции в точке.
6. Предел композиции функций. Теорема о пределе на [a, +infty) ((-infty, a]) при x->+infty (-infty).
7. Сравнение асимптотического произведения функций. Эквивалентности при x->0: ln(1+x)~x, e^x-1~x, (1+x)^a-1~ax.
8. Предел функции по базе. Критерий Коши существования предела функции по базе.
9. Непрерывность функции в точке. Случай изолированных и предельных точек множества. Непрерывность на множестве. Непрерывость функции sin(x).
10. Локальные свойства функции, непрерывной в точке (локальная ограниченность, сохранение знака, арифметические операции, композиция непрерывных функций). Непрерывность показательной функции.
11. Классификация точек разрыва. Разрывы монотонной функции.
12. Теорема о промежуточных значениях функции, непрерывной на отрезке.
13. Теоремы Вейерштрасса об ограниченности и о достижении экстремальных значений функциями, непрерывными на отрезке.
14. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке.
15. Теорема об обратной функции. Примеры.
====================================
Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа.
Лектор – профессор Бадерко Е.А.
Мех-мат (второй поток), 1-ый курс, 1-ый семестр 2015/16 уч. год.
1. Равномощные множества. Счетные и несчетные множества. Подмножества счетных множеств. Объединение счетных множеств. Счетность множества рациональных чисел. Пример несчетного множества (Канторов диагональный процесс).
2. Аксиома полноты во множестве вещественных числах. Верхняя и нижняя грани множества. Существование точной верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества.
3. Лемма о вложенных отрезках. Несчетность множества вещественных чисел.
4. Лемма Бореля-Лебега о конечном покрытии отрезка. Лемма Больцано-Вейерштрасса о предельной точке.
5. Предел последовательности. Предельный переход и неравенства. Предельный переход и арифметические операции.
6. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число “е”.
7. Критерий Коши сходимости последовательности.
8. Предел функции в точке. Эквивалентность определений предела функции по Коши и по Гейне.
9. Функции, бесконечно малые и бесконечно большие в точке. Предел функции при x +∞(-∞). Предел бесконечно малой функции на локально ограниченную. Локальная ограниченность функции, имеющей предел. Сравнение асимптотического поведения функций.
10. Предельный переход и арифметические операции. Предельный переход и неравенства.
11. Предел композиции функции. Теорема о пределе монотонной функции на [a, +∞) (на (-∞, a]) при x +∞(-∞).
12. Предел функции по базе. Критерий Коши существования предела функции по базе.
13. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства функции, непрерывной в точке (локальная ограниченность, сохранение знака, арифметические операции, композиция непрерывных функций).
14. Классификация точек разрыва. Разрывы монотонной функции.
15. Теорема о промежуточных значениях функции, непрерывной на отрезке.
16. Теоремы Вейерштрасса об ограниченности и о достижении экстремальных значений функциями, непрерывными на отрезке.
17. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке.
18. Теорема об обратной функции.
19. Производная функции в точке. Дифференцируемость функции в точке. Связь между этими понятиями.
20. Арифметические операции и производная.
21. Производная композиции. Производная обратной функции.
22. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
23. Теоремы Ферма и Ролля.
24. Теоремы Коши и Лагранжа о конечных приращениях.
25. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей.
26. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
27. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Основные асимптотические разложения.
28. Критерий монотонности функции на интервале. Достаточное условие строгой монотонности. Достаточные условия существования строгого экстремума.
29. Выпуклость функции. Точки перегиба. Критерии выпуклости и строгой выпуклости. Необходимое условие существования точки перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба.
====================================
Вопросы коллоквиума № 3 (второй семестр).
1.Первообразная функция на интервале. Неопределенный интеграл и его свойства (линейность, интегрирование по частям, замена переменной).
2.Интегрируемость функции на отрезке. Критерий Коши. Необходимое условие интегрируемости.
3.Достаточный признак интегрируемости, связанный с колебанием функции. Классы интегрируемых функций.
4.Множества лебеговой меры нуль. Критерий интегрируемости по Лебегу (формулировка). Интеграл от функции, интегрируемой на отрезке и равной нулю почти всюду.
5.Критерий Дарбу и специальный критерий интегрируемости ограниченной функции.
6.Свойства определенного интеграла (линейность, аддитивность, интегрируемость произведения).
7.Интегрирование и неравенства. Первая теорема о среднем. Формулировка второй теоремы о среднем.
8.Непрерывность и дифференцируемость интеграла по верхнему (нижнему) пределу.
9.Существование первообразной у непрерывной на интервале функции. Первообразная для функции, непрерывной на отрезке.
10.Формула Ньютона – Лейбница для интегрируемой на отрезке функции. Замена переменной в определенном интеграле.
11.Интегрирование по частям. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
12.Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимость.
13.Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Признак Дирихле.
14.Несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл в смысле главного значения.
15.Аддитивная функция отрезка. Длина кривой. Площадь криволинейной трапеции. Некоторые механические приложения определенных интегралов (масса и центр тяжести неоднородного стержня, работа переменной силы).
====================================
Вопросы экзамена (первый курс второй семестр).
Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа.
Мех-мат (отделение математики, 2-ой поток), 1-ый курс, 2-ой семестр 2015/2016 уч. года.
Лектор – профессор Бадерко Е.А.
1. Первообразная функция на интервале. Неопределенный интеграл и его свойства (линейность, интегрирование по частям, замена переменной).
2. Интегрируемость функции на отрезке. Критерий Коши. Необходимое условие интегрируемости.
3. Достаточный признак интегрируемости, связанный с колебанием функции. Классы интегрируемых функций.
4. Множества лебеговой меры нуль. Критерий интегрируемости по Лебегу (формулировка). Интеграл от функции, интегрируемой на отрезке и равной нулю почти всюду.
5. Критерий Дарбу и специальный критерий интегрируемости ограниченной функции.
6. Свойства определенного интеграла (линейность, аддитивность, интегрируемость произведения).
7. Интегрирование и неравенства. Первая теорема о среднем. Формулировка второй теоремы о среднем.
8. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по верхнему (нижнему) пределу.
9. Существование первообразной у непрерывной на интервале функции. Первообразная для функции, непрерывной на отрезке.
10. Формула Ньютона – Лейбница для интегрируемой на отрезке функции. Замена переменной в определенном интеграле.
11. Интегрирование по частям. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
12. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимость.
13. Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Признак Дирихле.
14. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл в смысле главного значения.
15. Линейные, нормированные, евклидовы и метрические пространства. Неравенства Коши-Буняковского и Минковского.
16. Последовательности в метрическом пространстве. Полные метрические пространства. Сходимость в R^n. Полнота R^n.
17. Предел отображения из метрического пространства в метрическое пространство. Функции двух переменных: двойные и повторные пределы. Достаточное условие существования повторного предела.
18. Непрерывные отображения в метрических пространствах. Непрерывность композиции. Критерий непрерывности на всем пространстве.
19. Компакты в метрическом пространстве и их свойства (существование предельной точки, ограниченность и замкнутость, компактность замкнутого подмножества).
20. Компактность в R^n (вложенная система n–мерных клеток, компактность n–мерной клетки, критерий компактности в R^n).
21. Свойства непрерывных отображений на компакте (сохранение компактности, ограниченность, достижение максимальных и минимальных значений, равномерная непрерывность). Непрерывные функции на линейном связном множестве в R^n.
22. Производные и дифференциалы первого порядка. Непрерывность дифференцируемой функции. Необходимое условие дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости. Дифференцируемость вектор-функции.
23. Дифференцируемость сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Производная по направлению. Градиент.
24. Производные высших порядков. Теорема Шварца о равенстве смешанных производных. Формулировка теоремы Юнга.
25. Дифференциалы высших порядков. Теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
26. Теорема Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Локальный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие существования локального экстремума. Достаточное условие существования строгого локального экстремума.
27. Теорема о существовании и единственности неявной функции (случай одного уравнения). Теорема о неявных функциях для систем уравнений (формулировка).
Конспекты лекций (рукописные):
- Лекции 1 семстра
- Лекции 2 семестра (еще один — второй вариант конспекта)
- Лекции 3 семестра
- Лекции 4 семестра
