Курс математического анализа профессора Е.А.Бадерко.

  1. Вопросы первого коллоквиума (1 семестр).
  2. Вопросы второго коллоквиума (1 семестр).
  3. Экзаменационные вопросы 1 семестр 1 курс. 
  4. Вопросы третьего коллоквиума (2 семестр).
  5. Экзаменационные вопросы 2 семестр 1 курс.

====================================

Вопросы коллоквиума № 1.

1. Множества. Операции над ними. Декартово произведение.
2. Отображения. функции. Классификация отображений. График отображения. суперпозиция отображений. Обратное отображение.
3. Равномощные множества. Счетные и несчетные множества. Подмножества счетных множеств. Объединение счетных множеств. Счетность множества рациональных чисел. Пример насчетного множества (Канторов диагональный процесс).
4. Натуральные числа и принцип математической индукции. Неравенство Бернулли. Бином Ньютона.
5. Аксиомы полноты во множестве вещественных чисел. Верхняя и нижняя грани множеств. Существование точной верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества.
6. Лемма о вложенных отрезках. Несчетность множества вещественных исел.
7. Лемма Бореля-Лебега о конечном покрытии отрезка. Лемма Больцано-Вейерштрасса о предельной точке.
8. Внутренние, внешние, граничные точки множества, точки прикосновения и изолированные точки. Теорема о замыкании множества и о дополнении к нему.
9. Открытые и замкнутые множества. Критерий замкнутости множества. Теоремы об объеинении (пересечении) открытых и замкнутых множеств.
10. Предел последовательности. Его единственность. Произведение бесконечно малой послеовательности на ограниченную последовательность. Ограниченность последовательности, имеющей предел.
11. Предельный переход и неравенства. Предельный переход и арифметические операции.
12. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число "е".
13. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании частичного предела у ограниченной последовательности. Верхний и нижний пределы последовательности.
14. Критерий Коши сходимости последовательности. 

====================================

Вопросы коллоквиума № 2.

1. Предел функции в точке. Эквивалентные определения. Единственность предела. Первый замечательный предел (lim(sin(x)/x)=1 x->0).
2.  Эквивалентность определений предела функции по Коши и по Гейне.
Функции, бесконечно малые и бесконечно большие в точке. Предел функции при x->+infty (-infty). Предел произведения бесконечно малой функции на локально ограниченную. Локальная ограниченность функции, имеющей предел.
4. Предельный переход и арифметические операции. Предельный переход и неравенства.
5. Критерий Коши существования предела функции в точке.
6. Предел композиции функций.  Теорема о пределе на [a, +infty) ((-infty, a]) при  x->+infty (-infty).
7. Сравнение асимптотического произведения функций. Эквивалентности при  x->0: ln(1+x)~x, e^x-1~x, (1+x)^a-1~ax.
8. Предел функции по базе. Критерий Коши существования предела функции по базе. 
9. Непрерывность функции в точке. Случай изолированных и предельных точек множества. Непрерывность на множестве. Непрерывость функции sin(x).
10. Локальные свойства функции, непрерывной в точке (локальная ограниченность, сохранение знака, арифметические операции, композиция непрерывных функций). Непрерывность показательной функции.
11. Классификация точек разрыва. Разрывы монотонной функции.
12. Теорема о промежутоных значениях функции, непрерывной на отрезке.
13. Теоремы Вейерштрасса об ограниченности и о достижении экстремальных значений функциями, непрерывными на отрезке.
14. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке.
15. Теорема об обратной функции. Примеры. 

====================================

Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа.

Лектор – профессор Бадерко Е.А.
Мех-мат (второй поток), 1-ый курс, 1-ый семестр 2015/16 уч. год.

1. Равномощные множества. Счетные и несчетные множества. Подмножества счетных множеств. Объединение счетных множеств. Счетность множества рациональных чисел. Пример несчетного множества (Канторов диагональный процесс).

2. Аксиома полноты во множестве вещественных числах. Верхняя и нижняя грани множества. Существование точной верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества.

3. Лемма о вложенных отрезках. Несчетность множества вещественных чисел.

4. Лемма Бореля-Лебега о конечном покрытии отрезка. Лемма Больцано-Вейерштрасса о предельной точке.

5. Предел последовательности. Предельный переход и неравенства. Предельный переход и арифметические операции.

6. Монотонные последовательности. Теорема  Вейерштрасса. Число “е”.

7. Критерий Коши сходимости последовательности.

8. Предел функции в точке. Эквивалентность определений предела функции по Коши и по Гейне.

9. Функции, бесконечно малые и бесконечно большие в точке. Предел функции при x +∞(-∞). Предел бесконечно малой функции на локально ограниченную. Локальная ограниченность функции, имеющей предел. Сравнение асимптотического поведения функций.

10. Предельный переход и арифметические операции. Предельный переход и неравенства.

11. Предел композиции функции. Теорема о пределе монотонной функции на [a, +∞)  (на (-∞, a]) при x +∞(-∞).

12. Предел функции по базе. Критерий Коши существования предела функции по базе.

13. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства функции, непрерывной в точке (локальная ограниченность, сохранение знака, арифметические операции, композиция непрерывных функций).

14. Классификация точек разрыва. Разрывы монотонной функции.

15. Теорема о промежуточных значениях функции, непрерывной на отрезке.

16. Теоремы Вейерштрасса об ограниченности и о достижении экстремальных значений функциями, непрерывными на отрезке.

17. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке.

18. Теорема об обратной функции.

19. Производная функции в точке. Дифференцируемость функции в точке. Связь между этими понятиями.

20. Арифметические операции и производная.

21. Производная композиции.  Производная обратной функции.

22. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

23. Теоремы Ферма и Ролля.

24. Теоремы Коши и Лагранжа о конечных приращениях.

25. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей.

26. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

27. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Основные асимптотические разложения.

28. Критерий монотонности функции на интервале. Достаточное условие строгой монотонности. Достаточные условия существования строгого экстремума.

29. Выпуклость функции. Точки перегиба. Критерии выпуклости и строгой выпуклости. Необходимое условие существования точки перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба.

====================================

Вопросы коллоквиума № 3 (второй семестр).

1.Первообразная функция на интервале. Неопределенный интеграл и его свойства (линейность, интегрирование по частям, замена переменной).

2.Интегрируемость функции на отрезке. Критерий Коши. Необходимое условие интегрируемости.

3.Достаточный признак интегрируемости, связанный с колебанием функции. Классы интегрируемых функций.

4.Множества лебеговой меры нуль. Критерий интегрируемости по Лебегу (формулировка). Интеграл от функции, интегрируемой на отрезке и равной нулю почти всюду.

5.Критерий Дарбу и специальный критерий интегрируемости ограниченной функции.

6.Свойства определенного интеграла (линейность, аддитивность, интегрируемость произведения).

7.Интегрирование и неравенства. Первая теорема о среднем. Формулировка второй теоремы о среднем.

8.Непрерывность и дифференцируемость интеграла по верхнему (нижнему) пределу.

9.Существование первообразной у непрерывной на интервале функции. Первообразная для функции, непрерывной на отрезке.

10.Формула Ньютона – Лейбница для интегрируемой на отрезке функции. Замена переменной в определенном интеграле.

11.Интегрирование по частям. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

12.Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимость.

13.Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Признак Дирихле.

14.Несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл в смысле главного значения.

15.Аддитивная функция отрезка. Длина кривой. Площадь криволинейной трапеции. Некоторые механические приложения определенных интегралов (масса и центр тяжести неоднородного стержня, работа переменной силы).

====================================

Вопросы экзамена (первый курс второй семестр).

Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа.

Мех-мат (отделение математики, 2-ой поток), 1-ый курс, 2-ой семестр 2015/2016 уч. года.

Лектор – профессор Бадерко Е.А.

 

1.  Первообразная функция на интервале. Неопределенный интеграл и его свойства (линейность, интегрирование по частям, замена переменной).

2.  Интегрируемость функции на отрезке. Критерий Коши. Необходимое условие интегрируемости.

3.  Достаточный признак интегрируемости, связанный с колебанием функции. Классы интегрируемых функций.

4.  Множества лебеговой меры нуль. Критерий интегрируемости по Лебегу (формулировка). Интеграл от функции, интегрируемой на отрезке и равной нулю почти всюду.

5.  Критерий Дарбу и специальный критерий интегрируемости ограниченной функции.

6.  Свойства определенного интеграла (линейность, аддитивность, интегрируемость произведения).

7.  Интегрирование и неравенства. Первая теорема о среднем. Формулировка второй теоремы о среднем.

8.  Непрерывность и дифференцируемость интеграла по верхнему (нижнему) пределу.

9.  Существование первообразной у непрерывной на интервале функции. Первообразная для функции, непрерывной на отрезке.

10. Формула Ньютона – Лейбница для интегрируемой на отрезке функции. Замена переменной в определенном интеграле.

11. Интегрирование по частям. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

12. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимость.

13. Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Признак Дирихле.

14. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл в смысле главного значения.

15. Линейные, нормированные, евклидовы и метрические пространства. Неравенства Коши-Буняковского и Минковского.

16. Последовательности в метрическом пространстве. Полные метрические пространства. Сходимость в R^n. Полнота R^n.

17. Предел отображения из метрического пространства в метрическое пространство. Функции двух переменных: двойные и повторные пределы. Достаточное условие существования повторного предела.

18. Непрерывные отображения в метрических пространствах. Непрерывность композиции. Критерий непрерывности на всем пространстве.

19. Компакты в метрическом пространстве и их свойства (существование предельной точки, ограниченность и замкнутость, компактность замкнутого подмножества).

20. Компактность в R^n (вложенная система n–мерных клеток, компактность n–мерной клетки, критерий компактности в R^n).

21. Свойства непрерывных отображений на компакте (сохранение компактности, ограниченность, достижение максимальных и минимальных значений, равномерная непрерывность). Непрерывные функции на линейном связном множестве в R^n.

22. Производные и дифференциалы первого порядка. Непрерывность дифференцируемой функции. Необходимое условие дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости. Дифференцируемость вектор-функции.

23. Дифференцируемость сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Производная по направлению. Градиент.

24. Производные высших порядков. Теорема Шварца о равенстве смешанных производных. Формулировка теоремы Юнга.

25. Дифференциалы высших порядков. Теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

26. Теорема Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Локальный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие существования локального экстремума. Достаточное условие существования строгого локального экстремума.

27. Теорема о существовании и единственности неявной функции (случай одного уравнения). Теорема о неявных функциях для систем уравнений (формулировка).

 


01.09.2018
Поздравляем с Днем Знаний!

Желаем всем посетителям нашего сайта успехов в новом учебном году!



13.04.2018
Обновлена информация о лекциях по математике для 1 курса географического факультета (2 семестр)



Все новости




 
О кафедре|Сотрудники|Учебная деятельность|Научная деятельность|Новости Кафедра математического анализа
механико-математического факультета
МГУ им. М.В. Ломоносова