Кафедра математического анализа регулярно выполняет большой объем педагогических поручений. Поэтому коллектив кафедры многочисленный — более 70 человек. Сотрудники кафедры ведут научную работу в разных направлениях современного анализа, теории чисел, дифференциальной геометрии и других разделов математики.
В течении многих лет на кафедре математического анализа работали профессора Лев Абрамович Тумаркин и Михаил Александрович Крейнес. Работы Л.А.Тумаркина относились к области общей топологии. Основные его результаты принадлежат теории размерности, где он перенес важные теоремы этой теории, доказанные для комплексов, на случай метрических пространств со счетной базой. М.А.Крейнес занимался вопросами теории дифференциальных операторов. Его исследования математических вопросов теории механизмов нашли существенное применение и были удостоены Государственной премии СССР (в группе авторов). Позднее Крейнес вместе с сотрудниками кафедры Н.Д. Айзенштадт, И.А.Вайнштейном, З.М. Кишкиной занимался вопросами приближений функций полиграфируемыми функциями и являлся соавтором ряда учебных пособий.
Особого внимания заслуживают геометрические работы кандидата физико-математических наук Б.А. Дубровина (ныне профессора, доктора наук). Основная область научных интересов лежит в области применения методов алгебраической геометрии римановых поверхностей и абелевых многообразий к интегрированию нелинейных уравнений математической физики. Суть метода алгебраического интегрирования периодической задачи для нелинейных уравнений состоит в следующем:
- Отыскивается широкий класс точных решений исследуемого нелинейного уравнения.
- Эти решения выражаются через тета-функции римановых поверхностей.
- Методами спектральной теории линейных операторов доказывается плотность построенного класса решений в пространстве всех периодических решений данного уравнения.
Б.А. Дубровин принял участие в создании этого метода, впервые примененного к решению периодической задачи для важнейшего в теории нелинейных волн со слабой дисперсией уравнения Кортевега-де Фриза и решению в этой связи обратной задачи спектральной теории для оператора Штурма-Лиувилля с периодическими коэффициентами. Использование нелинейных уравнений для нужд алгебраической геометрии позволило Б.А. Дубровину получить ряд глубоких алгебро-геометрических результатов. Отметим здесь лишь решения (с точностью до компоненты) классической проблемы Римана-Шоттки о соотношениях между периодами голоморфных дифференциалов на римановых поверхностях.
Большой цикл работ сотрудников кафедры относится к дифференциальным уравнениям.
Профессор Борис Павлович Демидович внес крупный вклад в классические области математики: обыкновенные дифференциальные уравнения и математический анализ. Он опубликовал около 60 научных работ, среди которых общепризнанный университетский задачник по математическому анализу, замечательная монография по теории устойчивости обыкновенных дифференциальных уравнений, ряд других учебных пособий, многократно изданных в СССР и переизданных за рубежом. Основной областью научной деятельности Бориса Павловича была качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений. В этой области можно выделить пять основных направлений, в первую очередь определяющего интересы:
- динамические системы с интегральными инвариантами;
- периодические и почти периодические решения обыкновенных дифференциальных уравнений;
- правильные и вполне-правильные дифференциальные системы (последние в литературе носятназвание «систем Демидовича»);
- ограниченные решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- устойчивость (в частности, орбитальная устойчивость) обыкновенных дифференциальных уравнений.
Возглавляя на механико-математическом факультете МГУ известный общемосковский семинар по качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Борис Павлович воспитал 11 кандидатов наук.
Доцент Ф.С. Рацер-Иванова работала на кафедре с 1938 года. В 1944 году ею была сделана работа «Распространение волн в плоском вращающемся канале в случае двухслойной жидкости». В 1946 году были начаты работы по специальным функциям, системам дифференциальных уравнений в частных производных и их приложениям к задачам приливных колебаний. В 1946 году опубликована работа «Полусуточные приливы в плоском безграничном канале постоянной глубины, вращающемся с постоянной угловой скоростью». В 1950 году ею защищена диссертация на тему «Исследование свободных колебаний суточного и полусуточного типов». Рассматривались системы дифференциальных уравнений в частных производных при специального вида граничных условиях и обыкновенные дифференциальные уравнения типа Штурма-Лиувилля. Рацер-Иванова занималась также системами дифференциальных уравнений в частных производных в приложении к исследованию колебаний двухслойной жидкости на границе раздела.
Доцент Л.А. Гусаров в конце 40-х занимался вопросами ограниченности и стремления к нулю решений обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка. Вначале 50-х Л.А. Гусаров занимался системами линейных уравнений в частных производных параболического типа с вырождением. В 60-х занимался оценками решений первой краевой задачи для параболических уравнений высших порядков. Затем работал над вопросами оптимального управления системами с распределенными параметрами, описываемыми системами уравнений в частных производных параболического типа.
М.И. Ельшин вел исследования по качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Его научные интересы лежали в области колеблемости и ограниченности решений, существования предельных циклов, асимптотики решений уравнений второго порядка и уравнений высших порядков. Ельшиным получены необходимые и достаточные условия колеблемости и ограниченности решения линейного уравнения второго порядка и линейной системы двух линейных уравнений первого порядка. Также он занимался вопросами разрешимости краевых задач для уравнений и систем второго порядка, а также вопросами поведения решений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений вцелом (продолжимость, приближение к предельным решениям, поведение решений сопределенной асимптотикой).
С.Н. Олехник занимался вопросами качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений второго порядка. Им получены эффективные коэффициентные критерии ограниченности решений, колеблемости решений и существования неограниченных решений таких систем. Им совместно с М.К.Потаповым и Ю.В. Нестеренко составлена книга «Задачи вступительных экзаменов поматематике», а для слушателей подготовительного отделения совместно с М.К.Потаповым написана книга «Задачи по алгебре и элементарным функциям».
Научные интересы П.П. Мосолова относились прежде всего к математической физике. Его основные результаты:
- Доказано, что задачи теории течений вязкопластической среды, формулируемые обычно в виде краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными в областях с неизвестными границами, допускают вариационную формулировку, функционал в которой является недифференцируемым. Исходя из этой формулировки и используя методы функционального анализа, вариационного исчисления, выпуклого анализа, интегральной геометрии, удалось исследовать не только общие вопросы разрешимости и единственности решений, но и изучить качественные особенности решений, их асимптотические свойства, разработать эффективные вычислительные алгоритмы. Работы по теории пластичности П.П. Мосолова и В.П. Мясникова привлекли внимание математиков и механиков как нашей страны, так и за рубежом. После этих работ появилось большое число математических исследований по теории пластичности.
- Найден вариационный метод исследования нестанционарных движений, представляющих собой одну из возможных интерпретаций экстремального принципа Гаусса (принципа наименьшего принуждения) для системы материальных точек. Этот метод позволяет исследовать нелинейные параболические уравнения, в том числе и с многозначной станционарной частью. Метод применен к исследованию динамических задач в теории пластичности. В частности, в рамках этого метода получен шарнирный механизм в динамике жесткопластических панелей (ранее такой механизм предписывался заранее). Этот метод представляет интерес как с теоретической точки зрения, в связи с замечаниями Пуанкаре и Герца по поводу вариационных принципов Мопертюи-Лагранжа и Гамильтона-Остроградского, так и с точки зрения вычислительных методов, так как позволяет использовать теорию двойственности выпуклого анализа для контроля точности приближенного решения нестанционарной задачи.
Основные исследования профессора Ю.А.Казьмина относились к теории интерполяции.Эта теория имеет многочисленные приложенияв области представления функций рядами потем или иным системам, а также к задачам аналитического продолжения и теории чисел (в частности, к проблемам? связанным с целозначностью функций). В большом цикле работ Ю.А.Казьмина многие из ранее нерешенных проблем в этой области получили свое полное решение. Иллюстрацией эффективности развитых им методов явилось полное решение однородной интерполяционной задачи Абеля в одном классе целых функций. Заметим, что задачей Абеля, о которой здесь идет речь, математики занимаются более 100 лет, и только в 1979 году Ю.А.Казьмин в известной степени завершил этот круг исследований. Предложенные Казьминым для решения интерполяционных задач методы обобщенных преобразований Бореля, нахождение решений в виде некоторых контурных интегралов типа Коши, привлечение аппарата краевых задач, а также разработанный им метод дважды симметричных множеств позволили дать исчерпывающее решение ряда важных и трудных проблем интерполяции и теории функций, и, в частности, сделать ясным механизм получения результатов, относящихся к теории целозначных функций. Им впервые указаны методы нахождения общих решений обширного класса интерполяционных задач, рассматриваемых на более широких множествах функций, чем классы единственности. Отметим, что упомянутый класс задач в качестве весьма частного случая включает в себя известную проблему моментов в комплексной области А.О.Гельфонда. Все это позволило Казьмину не только существенно продвинуть вперед теорию интерполирования в целом, но и во многих направлениях получить весьма законченные результаты. Исчерпывающие решения многих трудных и тонких задач интерполяции позволили ему доказать также ряд важных предложений о полноте, базисности, неодназначной представимости функций рядами по некоторым системам, в теории аналитического продолжения и других.
В.В. Кривовым рассматривались задачи описания структуры отображения, наиболее близкие к конформным, и свойства модулей семейств кривых и поверхностей, а также конформной емкости, связанные с экстремальными метриками. Изучены возможности сужения совокупности допустимых метрик в определении конформного модуля семейства кривых. Выяснена структура квазиконформных отображений в пространстве, минимально отличающихся от конформных. В.В. Кривовым получены также естественные обобщения понятий модуля и конформной емкости, применение которых к изучению структуры отображений, наиболее близких к конформным, позволило перенести результаты, полученные ранее для областей евклидова пространства на случай римановых многообразий, причем вместо внутренней и внешней дилатаций оказалось целесообразным давать формулировки в более общих терминах так называемых промежуточных дилатаций, т.е. коэффициентов квазиконформности.
Работы А.М. Полосуева относятся к теории равномерного распределения дробных долей показательных функций. Им установлен критерий равномерного распределения дробных долей матричной показательной функции специального вида и с его помощью построена матричная показательная функция, дробные доли которой равномерно распределены.
