Лекция 1. (6.9.2016)

Матрицы. Определение. Равенство матриц. Действия над матрицами (умножение на число, сложение). Квадратные матрицы. Определитель квадратной матрицы. "Индуктивное" определение (сначала для матриц 2Х2, потом - 3Х3, потом - вычисление определителя при помощи теоремы о разложении определителя по строке/столбцу). Свойства определителя. 

 

Лекция 2. (13.9.2016).

Решение систем линейных уравнений при помощи формул Крамера и методом Гаусса. Вычисление определителя матрицы при помощи приведения ее к ступенчатому виду.

 

Консультация 1. (17.9.2016)

Решение задач на определители и системы линейных уравнений.

 

Лекция 3. (20.9.2016).

Координаты на плоскости - прямоугольная декартова и полярная. Уравнение линии на плоскости. Кривые второго порядка - эллипс, гипербола, парабола. Кардиоида. Лемниската. Уравнение прямой на плоскости.

 

Консультация 2. (24.9.2016).

Вывод уравнений эллипса, гиперболы и параболы.  Решение задач.

 

Лекция 4. (27.9.2016).

Векторы. Координаты вектора. Направяющий вектор прямой. Уравнение (система уравнений) прямой, проходящей через две заданные точки (на плоскости и в пространстве). Скалярное произведение векторов и его свойства. Угол между прямыми. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости. Угол между прямой и плоскотью. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой.

Векторное произведение векторов и его свойства. Выражение его через координаты векторов. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой. Смешанное произведение векторов, его свойства и геометрический смысл. Ориентированный объем параллелепипеда, натянутого на данную тройку векторов. Условие компланарности трех векторов. Расстояние между скрещивающимися прямыми. 

 

Консультация 3. (01.10.2016).

Решение задач по аналитической геометрии (прямые и плоскости в пространстве).

 

Лекция 5. (4.10.20116).

Элементарные факты из теории множеств. Обозначения, операции над множествами. Подмножества множества действительных чисел. Функции. Последовательности. Определение бесконечно малой последовательности. Теорема о свойствах бесконечно малых. Определение предела последовательности.


Лекция 6. (11.10.2016).

Свойства предела последовательности (единственность, арифметика, сохранение знака в неравенствах при предельном переходе). Аксиома полноты Вейерштрасса. Теорема Вейерштрасса. Бином Ньютона. Число е.

 

Лекция 7. (18.10.2016). 

Предел функции в точке и его свойства. Лемма о зажатой функции. Первый замечательный предел. 

Второй замечательный предел. 

 

Лекция 8. (25.10.2016)

Следствия из первого замечательного предела (решение задач из пособия). Производная функции y=sin(x).  Домашнее задание - найти производную y=cos(x). 

Определение непрерывности функции в точке. Односторонние пределы. Критерий существования предела функции в точке (существование и равенство односторонних пределов). Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва (с примерами). Пример ограниченной функции, имеющей разрыв второго рода (y=sin(1/x)).

Непрерывность суммы (разности), произведения и частного двух непрерывных функций. Теорема о непрерывности композиции непрерывных функций.

Функции, непрерывные на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Примеры, показывающие, что в сформулированных теоремах нельзя заменить отрезок интервалом.

 

Консультация 4. (29.10.2016)

Доказательства утверждений про предел функции (по списку). Решение задач на нахождение пределов.

 

Лекция 9. (01.11.2016).

Следствия из второго замечательного предела (переписываем второй замечательный предел в разных формах).

Производная функции y=e^x. Производная функции y=ln(x). 

Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Использование эквивалентных б.м.ф. при вычислении пределов. о- и О-символика. Основные эквивалентности.

Определение прозводной и примеры нахождения производной функции в точке.

Таблица производных.

 

Консультация 5. (05.11.2016).

Доказательства теорем о свойствах предела функции. Разбор классификации точек разрыва.

Решение задач из списка к коллоквиуму и из пособия.

 

Лекция 10. (08.11.2016).

Определение дифференцируемости функции в точке. Теорема об эквивалентности дифференцируемости и существования производной в точке для функции одной переменной. Непрерывность дифференцируемой функции. Пример непрерывной, но не дифференцируемой в точке функции (y=|x|). Геометрический смысл производной. Касательная как предельное положение секущей. Уравнение касательной.

Правила дифференцирования - производная суммы, произведения и частного двух функций (с доказательством).

Производная сложной функции (с доказательством).

 

Лекция 11. (15.11.2016).

Производная обратной функции (с доказательством). Примеры - производные функций arctg(x), arcsin(x). Производная функции, заданной параметрически. Производная функции, заданной неявно (первый взгляд). Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Свойства дифференциалов.

Локальный экстремум. Теорема (принцип) Ферма (с док-вом).

 

Лекция 12. (22.11.2016).

Теорема Ферма (необходимый признак экстремума) (второе доказательство). Теорема Ролля. Теорема Коши. Теорема Лагранжа. (все с док-вом). Достаточное условие строгой монотонности функции на промежутке. Первое достаточное условие наличия локального экстремума функции в точке. Пример использования. Первое правило Лопиталя - пример использования.

 

Лекция 13 (29.11.2016).

Разбор ошибок студентов  при решении задач по теме "Пределы" на коллоквиуме.

Первое достаточное условие экстремума функции в точке - доказательство.

Первое правило Лопиталя - доказательство, примеры. Формулировка 2, 3, 4 правил Лопиталя. Примеры решения задач. 

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

 

Лекция 14 (06.12.2016)

Пример предела, для которого правило Лопиталя не дает решения. Доказательство Формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Второе достаточное условие экстремума функции. Разложение элементарных функций по формуле Маклорена. Определение выпуклости функции. Достаточное условие выпуклости функции (по второй производной).

 

Лекция 15  (13.12.2016).

Определение точки перегиба. Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба. Пример функции y=x^3.

Схема исследования функции и построения эскиза ее графика. Примеры: y=x+1/x, y=1/(x^2+1), y=2x/(1+x^2).

Замечания о разных определениях выпуклости функции и связанных с этим понятием неравенствах.

 

Лекция 16 (20.12.2016)

Первообразная. Примеры. Теорема о разности двух первообразных. Неопределенный интеграл.

Дифференциал функции, его геометрический смысл и свойства. Инвариантность формы первого дифференциала. Интегрирование и дифференцирование как взаимно-обратные операции.

Вычисление неопределенного интеграла "разложением" на простейшие (табличные). Таблица интегралов.

 

Лекция 17 (08.02.2017)

Приемы неопределенного интегрирования: "разложением", заменой переменной, "по частям". Решение задач.

 

Лекция 18 (15.02.2017)

Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Решение задач.

 

Лекция 19 (22.02.2017)

Интегрирование функции f(x)=1/(x^2+1)^2 заменой x=tg(t). Универсальная тригонометрическая подстановка; вычисление интеграла от функции g(x)=1/(4+cos(x)). Метод неопределенных коэффициентов - интегрирование функции h(x)=1/(x^3+1).

Определенный интеграл (Римана). Конструкция, определение, геометрический смысл и основной результат - формула Ньютона-Лейбница. Пример - площадь под параболой y(x)=x^2 на отрезке [1; 2].  

Функция Дирихле и ее неинтегрируемость (по Риману) на любом отрезке.

 

Консультация 6. (25.02.2017).

Доказательство формулы Тейлора (повторно). Разложение по степеням х основых элементарных функций (повторно).

 

Лекция 20 (01.03.2017)

Ограниченность функции, интегрируемой по Риману на отрезке [a, b] (необходимое условие интегрируемости функции). Достаточные условия интегрируемости функций (интегрируемость непрерывной функции (без доказательства), ограниченной монотонной функции). Какие еще функции заведомо будут интегрируемыми.

Свойства определенного интеграла - аддитивность по функции, по отрезку. Инегрируемость произведения интегрируемых функций. 

Теорема о среднем. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его совйства.

Теорема (формула) Ньютона-Лейбница.

 

Консультация 7. (04.03.2017).

Доказательство утверждений из списка вопросов к коллоквиуму № 2. 

 

Лекция 21 (15.03.2017)

Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям определенного интеграла.

Приложения определенного интеграла: вычисление площади, ограниченной графиками функций, вычисление объема тела "по сечениям" (пример - объем пирамиды и конуса), вычисление объема тела вращения (пример - объем шара), вычисление длины дуги кривой, заданной уравнением y=f(x). 

Дополнительно: вычисление площади, ограниченной кривой, заданной в полярных координатах; вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически x=x(t), y=y(t) и кривой, заданной в полярных координатах формулами r=r(f) или f=f(r).

Решение задач.

 

Лекция 22 (22.03.2017)

Функции нескольких переменных. Пример задачи - провеси аппроксимирующую прямую методом наименьших квадратов.

Определение предела функции нескольких переменных. Свойства предела. Пример функции, не имеющей предел в точке.

Определение непрерывности функции двух переменных в точке. Свойства непрерывных функци нескольких переменных. 

Определение дифференцируемости функции нескольких переменных в точке. Частные производные.

Непрерывность дифференцируемой функции двух переменных. Пример функции, непрерывной, но не дифференцируемой в точке.

 

Лекция 23 (29.03.2017)

Пример функции, показывающий, что из существования частных производных функции двух переменных в точке не следует дифференцируемость функции в точке.

Достаточное условие диференцируемости - непрерывность частных производных в точке (без док-ва).

Пример дифференцируемой в точке функции, частные производные которой разрывны (этот пример показывает, что достаточное условие не является необходимым).  

Первый дифференциал функции двух переменных. Его геометрический смысл. Касательная плоскость. Уравнение касательной плоскости к поверхности - графику функции z=f(x, y).

Производные сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала функции двух переменных.

Локальный экстремум. Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции двух переменных (с док-вом).

Пример функции, показывающий, что необходимое условие экстремума не является достаточным.

Вторые частные производные - повторные и смешанные. Теорема о равенстве смешанных производных второго порядка.

Достаточное условие экстремума функции двух переменных (без док-ва).

 

Лекция 24 (05.04.2017)

Повторение - необходимое условие экстремума функции двух переменных, достаточное условие экстремума функции двух переменных. Примеры задач на исследование функции двух переменных на экстремум.

Второй дифференциал функции двух переменных. Почему второй дифференциал не обладает свойством инвариантности формы.

Производная по направлению. Градиент функции. Линии уровня. Уравнение касательной прямой к линиям уровня функции F(x, y). Функция, заданная неявно - условия сушествования, дифференцируемости и формула для производной функции y=f(x), заданной неявно уравнением F(x, y)=0.

Обобщение на случай трехмерного пространства.  Вектор-градиент функции F(x, y, z). "Поверхности уровня". Уравнение касательной плоскости к поверхности. (Вторая формула). Неявно заданная уравнением F(x, y, z)=0 функция z=f(x, y) - условия существования, дифференцируемости и формулы для нахождения частных производных.

Тем самым приводятся частные формулировки теоремы о неявной функции - без доказательства.

 

Лекция 25 (12.04.2017)

Повторение и решение задач. Вектор-функция (годограф). Уравнения касательной прямой. Метод наименьших квадратов.

 

Лекция 26 (19.04.2017)

Дифференциальные уравнения - примеры. Уравнения с разделяющимися переменными. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

 

Консультация 8 (22.04.2017)

Повторение. Разбор вопросов к экзамену.

 

Лекция 27 (26.04.2017)

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации постоянной. 

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (однородные). Общее решение.

.

 

.

01.09.2018
Поздравляем с Днем Знаний!

Желаем всем посетителям нашего сайта успехов в новом учебном году!



13.04.2018
Обновлена информация о лекциях по математике для 1 курса географического факультета (2 семестр)



Все новости




 
О кафедре|Сотрудники|Учебная деятельность|Научная деятельность|Новости Кафедра математического анализа
механико-математического факультета
МГУ им. М.В. Ломоносова